TWO-STEP CROSS-VARIABLE GAPPY POD FOR MULTI-SCALAR FIELD FROM SPARSE TEMPERATURE MEASUREMENTS IN TURBULENT COMBUSTION

H. Yu; S. Kim; K.Y. Huh; D. You

doi:10.6112/kscfe.2026.31.2.137

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Original Article

Journal of Computational Fluids Engineering. 30 June 2026. 137-152
https://doi.org/10.6112/kscfe.2026.31.2.137

TWO-STEP CROSS-VARIABLE GAPPY POD FOR MULTI-SCALAR FIELD FROM SPARSE TEMPERATURE MEASUREMENTS IN TURBULENT COMBUSTION

2단계 교차 변수 Gappy POD를 이용한 난류 연소장의 희소 온도 측정 기반 다중 스칼라장 재구성

H. Yu¹

S. Kim¹

K.Y. Huh¹

D. You¹^†

유 혜수¹

김 성범¹

허 강열¹

유 동현¹^†

¹Department of Mechanical Engineering, Pohang University of Science and Technology

¹포항공과대학교 기계공학과

^{*Corresponding Author}

License (open-access, http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0):

This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0) which permits unrestricted noncommercial use, distribution, and reproduction in anymedium, provided the original work is properly cited.

ABSTRACT

This study proposes the Two-step Cross-Variable Gappy POD to reconstruct multiple scalar fields from sparse temperature measurements. The method extracts the spatial correlations between temperature and target scalar via POD, predicts the target scalars at sensor locations from temperature inputs and reconstructs the full 3-D scalar field by Gappy POD. The approach is validated for a piloted methane–air turbulent jet flame using OpenFOAM-based parametric snapshot database for reconstruction of temperature, O₂, NO, OH, CO, and H₂O. The O₂ has a strong and spatially consistent correlation with temperature, leading to the reconstruction performance comparable to single-step Gappy POD. In contrast, the OH and CO exhibit near-field deviation due to the local reaction-zone structure and sensitivity to the mixing conditions. The H₂O involves a high Pearson correlation coefficient, which does not necessarily guarantee accurate reconstruction of radial gradients and widths of the flame. The NO requires additional scaling correction due to discrepancy in the scales between simulation and measurement. Overall, the Pearson correlation serves as a useful indicator for the Two-step Cross-Variable Gappy POD, while accurate reconstruction requires additional consideration for scalar-specific spatial structures, sensor locations and scale discrepancy between simulation and measurement.

Keywords

Cross-variable estimation

Flow field reconstruction

Gappy POD

Sparse sensor measurements

Proper orthogonal decomposition

Reduced-order model

Sandia Flame D

키워드

교차변수추정

유동장 재구성

결손 적합직교분해

희소 센서 측정

적합직교분해

차수감소모델

산디아 화염 D

MAIN

1. 서 론
2. 재구성 방법론
2.1 적합직교분해(POD)
2.2 Gappy POD
2.3 Two-step Cross-Variable Gappy POD
3. 검증 케이스 및 해석 조건
3.1 Sandia Flame D 실험 데이터베이스
3.2 센서 위치 및 대상 스칼라
3.3 시뮬레이션 설정 및 수치 해법
4. 결과 및 토의
4.1 스칼라별 재구성 결과
4.2 종합 토의 및 적용성 분석
5. 결 론

1. 서 론

공학 시스템의 디지털 트윈 구현을 위해서는 희소한 센서값으로부터 전체 물리장을 효율적으로 정확하게 복원하는 기술이 필수적이다. 디지털 트윈은 물리 시스템과 가상 모델 간의 데이터 연계를 통해 시스템 상태를 실시간으로 반영하고 예측하는 기술로서[1], 유체 시스템의 실시간 성능 예측 및 파라미터 보정[2], 파력발전장치의 통합 유동해석 물리모델 구현[3] 등 다양한 공학 시스템에 적용되고 있으며, POD 및 인공신경망 기반 차수감소모델과 결합하여 그 응용 범위가 확대되고 있다[4]. 디지털 트윈의 실효성은 가상 모델이 물리 시스템의 상태 변화를 실시간에 가깝게 반영하고 예측할 수 있는 능력에 의해 결정되나, 이를 뒷받침하는 두 가지 핵심 요소인 고충실도 CFD 시뮬레이션과 계측 센서는 각각 근본적인 한계를 가진다. CFD는 높은 해상도의 물리 정보를 제공하지만 계산 비용이 커 실시간 운용에 제약이 있으며, 계측 센서는 신뢰성 높은 데이터를 제공하지만 공간적으로 제한된 위치에서만 정보를 획득할 수 있다. 이러한 한계를 보완하기 위해 앙상블 칼만 필터(EnKF)[5]와 같은 확률 기반 데이터 동화 기법이나 물리 지식 신경망(PINN)[6]과 같은 물리-데이터 기반 학습 방법들이 제안되었으나, 다음의 고유한 제약을 가진다. EnKF는 상태 변수의 가우시안 분포 가정에 기반하므로 강한 비선형성을 갖는 시스템에서 정확도가 저하될 수 있으며, 시스템 차원과 앙상블 크기에 비례하는 계산 비용으로 인해 대규모 시스템에서 실시간 적용이 어렵다. PINN은 물리 법칙을 손실 함수에 직접 반영하여 데이터가 부족한 환경에서도 적용 가능하다는 장점이 있으나, 다중 변수가 강하게 비선형적으로 결합된 시스템에서는 학습 수렴이 불안정할 수 있으며[7], 새로운 운전 조건마다 재학습이 필요하여 실시간 운용 환경에서의 적용에 제약이 따른다.

적합직교분해(Proper Orthogonal Decomposition, POD) 기반의 Gappy POD[8]는 센서값으로부터 POD 계수를 결정하여 전체 스칼라장을 재구성하는 방법으로서, 복원 과정이 선형 최소자승 문제로 귀결되어 계산 비용이 낮고 POD 기저를 통한 물리적 해석이 가능하다는 점에서 디지털 트윈의 실시간 상태 추정 모듈로서 실용적 이점을 갖는다. 실제로 공력 데이터 재구성[9], 실린더 주위 유동 재구성[10] 및 비정상 유동 추정과 센서 배치 최적화[11], 연소기 PIV 결측 복원[12] 등 다양한 공학 분야에서 그 유효성이 입증되어 왔다. 특히 연소 시스템에서는 POD와 Kriging을 결합한 차수감소모델을 기반으로 온도 및 주요 화학종의 공간 분포를 실시간으로 예측하는 디지털 트윈이 구현되었으며[13], sparse sensing과 POD 기반 가우시안 과정 회귀 차수감소모델(POD-GPR ROM)을 결합하여 희소 측정값으로부터 연소 시스템의 모델 파라미터를 추정하는 프레임워크가 제안되었다[14]. 그러나 Gappy POD는 재구성 대상 변수의 센서값을 입력으로 요구하므로, 계측 가능한 변수로부터 직접 계측이 어려운 변수 값을 추정하는 교차 변수 재구성에는 적용하기 어렵다. 실제 산업 시스템에서는 고온·반응 영역에 대한 접근 제한, 센서 내구성, 계측 비용 및 설비 구조상의 제약으로 인해 다수의 주요 물리량은 측정이 어려운 경우가 많으므로, 이는 산업 디지털 트윈 구현에서 Gappy POD의 본질적인 한계로 작용한다.

변수 간 상관관계를 활용한 선행 연구로서 EPOD[15]와 POD-Kalman 추정기[16]가 제안된 바 있으나, 각각 다음의 구조적 제약을 가진다. EPOD는 기준 스칼라의 전체장 스냅샷으로부터 POD 모드와 스냅샷별 계수를 구한 뒤, 해당 계수와 대상 스칼라의 전체장 스냅샷 사이의 상관을 이용하여 대상 스칼라의 extended mode를 정의하는 방법이다. 따라서 EPOD는 두 스칼라 사이의 전체장 기반 상관 구조를 해석하는 데 유용하지만, 본 연구와 같이 센서 위치에서 계측 가능한 스칼라 값만을 이용해 계측이 어려운 대상 스칼라의 센서값을 먼저 예측하고, 이를 다시 Gappy POD의 입력으로 사용하여 전체 스칼라장을 재구성하는 순차적 절차는 포함하지 않는다. POD-Kalman 추정기는 비정상 유동의 시계열 데이터와 동역학 모델을 기반으로 Kalman 필터를 통해 POD 계수를 실시간 추정하는 방법으로, 시간 연속성이 없는 정상 상태 스냅샷에 직접 적용하기에는 어려움이 있다. 본 연구에서 제안하는 Two-step Cross-Variable Gappy POD는 다양한 운전 조건에서 계산된 정상 상태 CFD 스냅샷을 기반으로, 센서 위치에서 구성한 두 스칼라의 정적 상관 구조만을 활용하여 계측 가능한 하나의 변수만으로 계측이 어려운 여러 변수의 전체 스칼라장을 재구성하는 2단계 Gappy 프레임워크이다. 이 방법은 Gappy POD의 단일 변수 측정 요구 조건을 완화하면서도 POD 기저의 물리적 해석 가능성과 계산 효율성을 유지한다는 점에서, 다양한 공학 시스템의 디지털 트윈 구현에 실용적 이점을 제공할 수 있다.

본 연구는 변수 간 상관관계 특성에 따른 교차 변수 재구성 성능을 체계적으로 평가하기 위해, 다중 스칼라 측정 데이터가 광범위하게 공개되어 있고 강한 비선형 결합 특성을 갖는 Sandia Flame D[17]를 검증 케이스로 선정하였다. 해당 케이스는 온도와 6종 화학종에 대한 표준 측정 데이터가 공개되어 있어, 변수 간 상관관계 특성에 따른 교차 변수 재구성 성능을 체계적으로 평가할 수 있다는 장점을 갖는다. 본 연구에서는 OpenFOAM 기반의 시뮬레이션 데이터베이스를 구축하고, 온도 측정값만을 입력으로 하여 O₂, NO, OH, CO, H₂O 농도 등 5종 변수에 대한 재구성 성능을 평가한다. 또한 온도와 각 대상 변수 간의 피어슨 상관계수를 활용하여 제안 방법론의 적용 가능 조건을 정량적으로 평가하고, 다양한 공학 시스템으로의 확장 적용 가능성에 대한 가이드라인을 제시한다.

2. 재구성 방법론

2.1 적합직교분해(POD)

POD는 $N_{s n a p}$ 개의 스냅샷으로 구성된 데이터 행렬 $S \in ℝ^{N_{cell} \times N_{snap}}$ 로부터 에너지 최적 기저 함수를 추출하는 기법이다. 하나의 스냅샷은 $N_{c e l l}$ 의 길이를 갖는 데이터이며, 이는 시뮬레이션 격자 개수와 동일하다. 본 연구에서는 POD 기저 구성 및 Gappy POD 계수 추정 과정에서 스칼라 간 크기 스케일의 차이가 계수 추정에 미치는 영향을 줄이기 위해, 모든 스칼라장과 센서값에 대해 동일하게 최소-최대 정규화(min–max normalization)를 적용하였다. 각 스칼라 Θ에 대해 $N_{s n a p}$ 개의 학습 스냅샷의 전체 분포값으로부터 $Θ_{\min}$ 과 $Θ_{\max}$ 를 산출하고, 시뮬레이션 스냅샷 및 센서값을 식 (1)과 같이 정규화하였다. 여기서 위첨자 *는 최소–최대 정규화가 적용된 값을 나타내며, 이하 본문에서 동일한 표기를 따른다. 재구성 후에는 역정규화를 통해 물리적 단위의 결과를 복원하였다.

정규화된 스냅샷 행렬 $S^{*}$ 에 특이값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)를 적용하여 식 (2)와 같이 POD 기저 행렬인 𝛷, 특이값 행렬 𝛴, 우특이벡터 행렬 $V$ 를 산출한다. 식 (3)의 $Φ_{M}$ 는 POD 모드 행렬, M은 사용 모드 수이며 임의의 스냅샷 $s_{j}^{*}$ 는 POD 기저벡터와 계수 𝛼의 선형 결합으로 식 (4)와 같이 근사된다.

(1)

Θ^{*} = \frac{Θ - Θ_{\min}}{Θ_{\max} - Θ_{\min}}

(2)

S_{Θ}^{*} = Φ Σ V^{T}

(3)

Φ_{M} = [ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{M}] \in R^{N_{c e l l} \times M}

(4)

{\tilde{s}}^{*} = \sum_{i = 1}^{M} α_{i} ϕ_{i}

누적 에너지는 Σ의 성분 σᵢ의 제곱의 합으로 정의되며, 본 연구에서는 에너지 누적률 99.9%를 달성하는 최소 모드 수를 채택하였다.

2.2 Gappy POD

Gappy POD는 희소 센서로 계수 𝛼를 보정하여 POD 기저 벡터와 선형 결합하여 전체 스칼라장을 복원하는 방법이다. POD 기저 𝛷는 2.1절에서 설명한 바와 같이 시뮬레이션 스냅샷을 통해 추출된다. 따라서 Gappy POD 또한 동일한 M개의 저차원 공간에서 수행된다. 전체 공간 $N_{c e l l}$ 개 격자 중 $N_{Z}$ 개의 센서가 존재하는 공간적 위치 집합 $Z = {i_{1}, i_{2}, \dots, i_{N_{Z}}}$ 를 정의한 후, 정규화된 센서 위치에서의 스칼라 Θ에 대한 스냅샷 행렬 $s_{θ, Z}^{*} \in ℝ^{N_{Z}}$ 및 POD 기저 $Φ_{θ, Z} \in ℝ^{N_{Z} \times M}$ 를 구한다. 보정된 계수 $\hat{α}$ 는 식 (5)와 같이 입력 변수인 센서값 $d_{θ, Z}$ 와의 최소자승 문제 해로부터 구한다. 식 (5)의 λ는 Tikhonov 정규화 매개변수로서[18], 수치적 안정성 확보를 위해 항을 추가하였다. Willcox[11]는 조건수(condition number)를 낮추기 위한 수단으로 센서 수 증가 및 위치 최적화를 제안하였으나, 본 연구에서는 실제 산업 현장에서의 계측 제약을 반영하기 위해 센서 위치와 구성을 고정한 채 λ를 로그스케일로 탐색하여 $Φ_{θ, Z}^{T} Φ_{θ, Z} + λ I$ 의 조건수가 50 미만이 되도록 제어함으로써 큰 조건수를 갖는 문제(ill-conditioning)를 완화하였다. 본 Sandia Flame D 케이스의 경우, 조건수 임계값 50은 계수 결정의 수치적 안정성과 POD 기저의 표현력 간의 균형을 고려하여 설정하였다. Tikhonov 정규화 매개변수 λ는 0, 10^-6, 10^-5, 10^-4, 10^-3, 10^-2, 10^-1을 후보값으로 두고 탐색하였다. 각 후보값에 대해 식 (5)의 Tikhonov 정규화 항이 포함된 정규화된 행렬의 조건수를 계산하였으며, 조건수가 50 미만이 되는 가장 작은 λ를 채택하였다. λ = 0에서 조건수 기준을 만족하는 경우에는 추가적인 정규화를 적용하지 않았으며, 그렇지 않은 경우에만 10⁻⁶ 이상의 후보값 중 최소 λ를 선택하였다.

최종 재구성 스칼라장 ${\hat{s_{θ}}}^{*}$ 는 식 (6)과 같이 구한다. 재구성된 스칼라장에는 식 (7)과 같이 음수값 제약을 일괄 적용하였다. 화학종 질량분율과 온도는 물리적으로 0 이상의 값만 허용되므로, Gappy POD 재구성 과정에서 발생하는 일부 음수값을 0으로 대체하였으며, 이를 Gappy POD 및 Two-step Cross-Variable Gappy POD에 동일하게 적용하였다.

(5)

\hat{α} = \underset{α}{\arg \min} \{{||d_{θ, Z}^{*} - Φ_{θ, Z} α||}_{2}^{2} + λ ‖ α ‖_{2}^{2}\}

(6)

{\hat{s}}_{θ}^{*} = \sum_{i = 1}^{\hat{M}} {\hat{α}}_{i, θ} ϕ_{i, θ}

(7)

{\hat{s}}_{θ, final}^{*} = \max ({\hat{s}}_{θ}^{*}, 0)

2.3 Two-step Cross-Variable Gappy POD

본 연구에서 제안하는 Two-step Cross-Variable Gappy POD는 계측 가능한 입력 스칼라 센서값만을 이용하여 직접 계측이 어려운 스칼라 Θ의 센서값을 먼저 예측한 후, 이를 Gappy POD의 입력으로 사용하여 Θ의 전체 스칼라장을 재구성하는 2단계 Gappy 방법론이다. 핵심 아이디어는 서로 다른 스칼라 간의 공간적 상관관계가 시뮬레이션 결과인 스냅샷 데이터베이스 내에 구조화되어 있다는 점을 활용하는 것이다. 본 연구에서는 Sandia Flame D 케이스에서 계측 접근성이 높고 다수의 화학종과 강한 상관관계를 갖는 온도를 입력 스칼라로 선택하였으며, 이하에서는 온도 센서값을 입력으로 하는 경우를 기준으로 방법론을 설명한다.

Step 1: 센서 행렬 구성 및 POD. 온도 T와 대상 스칼라 Θ의 정규화된 시뮬레이션 스냅샷으로부터 $N_{Z}$ 개의 공통 센서 위치 $Z = {i_{1}, i_{2}, \dots, i_{N_{Z}}}$ 에 해당하는 값을 각각 추출한다. $N_{s n a p}$ 개의 스냅샷에 대해 추출된 센서값들을 열 방향으로 배열하여, 온도와 대상 스칼라의 센서 위치 스냅샷 행렬 $s_{T, Z}^{*} \in ℝ^{N_{Z} \times N_{snap}}$ 및 $s_{θ, Z}^{*} \in ℝ^{N_{Z} \times N_{snap}}$ 를 구성한다. 이후 두 센서 위치 스냅샷 행렬을 수직 방향으로 결합하여 식 (8)과 같이 센서 행렬 ℂ를 정의한 후, 식 (9)와 같이 SVD를 적용하여 센서 공간 POD 모드 𝛹를 산출한다.

𝛹는 온도와 대상 스칼라의 센서 공간 상관 구조를 나타내는 POD 모드이며, 사용 모드 수 k를 선정하여 $Ψ_{k} \in ℝ^{2 N_{Z} \times k}$ 를 구성한다. 선택한 센서 POD 모드 행렬 $Ψ_{k}$ 는 온도에 해당하는 상위 $N_{Z}$ 개와 대상 스칼라에 해당하는 하위 $N_{Z}$ 개 행으로 식 (10)과 같이 분리된다.

(8)

ℂ = [\begin{matrix} s_{T, Z}^{*} \\ s_{θ, Z}^{*} \end{matrix}] \in ℝ^{2 N_{Z} \times N_{snap}}

(9)

ℂ = Ψ Λ W^{T}

(10)

Ψ_{k} = [\begin{array}{l} Ψ_{T} \\ Ψ_{θ} \end{array}]

센서 행렬 ℂ에 대한 POD 모드 수 k는 전체 스칼라장에 대한 POD와 다른 기준으로 결정한다. 센서 행렬은 2 $N_{Z}$ 개의 행을 갖는 저차원 공간에서 정의되므로, 이후 Step 2에서 사용되는 온도 부분 행렬 $Ψ_{T}$ 의 조건수가 50 미만이 되는 최대 모드 수를 k로 채택하였다. 이는 센서 공간의 상관 구조를 충분히 활용하면서 동시에 수치적 안정성을 확보하기 위함이다.

Step 2: 센서 행렬 기반 Gappy POD. 실제 계측 상황에서는 온도 센서값 $d_{T, Z} \in ℝ^{N_{Z}}$ 만 주어지며, 대상 스칼라 Θ의 센서값은 미지수이다. 따라서 Step 1에서 구한 온도 부분 센서 POD 모드 $Ψ_{T}$ 를 이용하여 센서 행렬 POD 계수 $\hat{c}$ 를 식 (11)과 같이 최소자승 문제로서 계산한다. 이때 $\hat{c}$ 는 입력 스칼라인 온도 센서값이 센서 행렬 ℂ의 저차원 공간에서 갖는 계수를 의미한다. 이후 동일한 계수 $\hat{c}$ 를 대상 스칼라에 해당하는 센서 POD 모드 $Ψ_{θ}$ 에 적용하여, 대상 스칼라 Θ의 센서 위치 값 $d_{θ, Z} \in ℝ^{N_{Z}}$ 를 식 (12)와 같이 예측한다. 즉, 여기서 ${\hat{d_{θ, Z}}}^{*}$ 는 온도 센서값으로부터 예측된 대상 스칼라의 정규화된 센서값이다.

(11)

\hat{c} = \underset{c}{\arg \min} \{{||d_{T, Z}^{*} - Ψ_{T} c||}_{2}^{2}\}

(12)

{\hat{d}}_{θ, Z}^{*} = Ψ_{θ} \hat{c}

Step 3: 대상 스칼라장의 Gappy POD 재구성. Step 2에서 예측된 대상 스칼라의 센서값 ${\hat{d}}_{θ, Z}^{*}$ 를 입력으로 하여 2.2절에서 설명한 Gappy POD를 Θ의 전체 스칼라장에 적용한다. 대상 스칼라의 전체 공간 분포에 대한 POD 기저 $Φ_{θ} \in ℝ^{N_{c e l l} \times M_{θ}}$ 에서 센서 위치 Z에 해당하는 행만 추출한 부분 행렬 $Φ_{θ, Z} \in ℝ^{N_{Z} \times M_{θ}}$ 을 이용해 보정된 POD 계수 $\hat{α_{θ}}$ 을 식 (13)과 같이 최소자승 문제로서 계산한다. 이 단계에서 사용하는 POD 모드 수 $M_{θ}$ 과 Tikhonov 정규화 매개변수 λ는 2.2절의 Gappy POD에서 결정된 값을 동일하게 사용한다. 최종적으로 대상 스칼라의 정규화된 전체 스칼라장 ${\hat{s_{θ}}}^{*}$ 은 식 (14)와 같이 추정된 계수 $\hat{α_{θ}}$ 와 POD 기저 $Φ_{θ}$ 의 선형 결합으로 재구성된다.

(13)

\hat{α_{θ}} = \underset{α}{\arg \min} \{{||{\hat{d}}_{θ, Z}^{*} - Φ_{θ, Z}||}_{2}^{2} + λ ‖ α ‖_{2}^{2}\}

(14)

{\hat{s}}_{θ}^{*} = \sum_{i = 1}^{\hat{M}} {\hat{α}}_{i, θ} ϕ_{i, θ}

NO는 온도 및 체류시간에 민감한 slow kinetic species로서, flamelet 기반 모델에서 과대 예측되는 경향이 보고되어 있다[19]. 본 연구에서도 이러한 경향으로 인해 시뮬레이션값과 실험값 사이의 절대값 수준 차이가 크게 나타나, Step 2에서 예측된 NO 센서값이 실제 센서값과 체계적으로 벗어나는 문제가 발생하였다. 이를 보정하기 위해 식 (15)와 같이 Table 1의 Group A에 해당하는 x/d = 60 위치의 센서 집합 을 기준으로, 측정값 합과 시뮬레이션값 합의 비로 정의한 scaling factor, $γ_{N O}$ 를 적용하였다. 예측된 NO 센서값은 $γ_{N O}$ 를 곱하여 보정한 후 Step 3의 Gappy POD 입력으로 사용되었다.

(15)

γ_{N O} = \frac{\sum_{i \in Z_{60}} s_{i, N O}}{\sum_{i \in Z_{60}} d_{i, N O}}

이 2단계 구조를 통해 제안 방법인 Two-step Cross-Variable Gappy POD는 온도 측정값만으로 직접 계측이 어려운 대상 스칼라의 전체 공간 분포를 재구성할 수 있다. 이는 2.2절의 Gappy POD가 재구성 대상 스칼라의 측정값을 요구하는 구조적 제약을 극복하며, 다중 스칼라 간의 물리적 상관관계를 저차원 센서 공간에서 명시적으로 활용한다는 점에서 차별성을 갖는다.

Fig. 1에 Two-step Cross-Variable Gappy POD의 전체 흐름을 도식화하였다. 전체 스칼라장의 POD 모드 $Φ_{T}$ , $Φ_{θ}$ 와 센서 공간 POD 모드 𝚿는 각각 독립적으로 산출되며, 이 두 기저 체계가 2단계 구조 내에서 순차적으로 활용된다는 점을 그림을 통해 확인할 수 있다.

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Fig. 1.

Comparison of Gappy POD and Two-step Cross-Variable Gappy POD procedures

3. 검증 케이스 및 해석 조건

3.1 Sandia Flame D 실험 데이터베이스

본 연구에서는 Sandia National Laboratories에서 구축한 Sandia Flame D 실험 데이터베이스를 활용한다. Flame D는 파일럿 메탄/공기 난류 제트화염 중 하나로, 높은 레이놀즈 수, 잘 정립된 다중 스칼라 실험값, 낮은 국소 소화 발생 가능성 등의 특성으로 인해 난류 연소 모델링의 대표적 기준 사례로 널리 사용된다. 화염은 직경 7.2 mm의 원형 노즐에서 분출되며, 제트는 부피 기준 25% CH₄ / 75% 건조 공기로 구성된 부분 예혼합 혼합물이다. 노즐 출구 단면 평균 유속은 49.6 m/s이고, 이에 따른 레이놀즈 수는 Re ≈ 22,400이다. 주 화염을 안정화하기 위해 설계된 파일럿 화염은 당량비 ϕ = 0.77의 희박 예혼합 혼합물로 구성된다. 본 연구에서는 공개된 pmCDEF 데이터셋의 Favre 평균 스칼라 실험값을 사용하였으며, CO에 대해서는 Raman 기반 측정 대비 신뢰성이 높아 TNF Workshop에서 권장하는 LIF 기반 실험값을 적용하였다.

3.2 센서 위치 및 대상 스칼라

희소 센서만으로 스칼라장을 재구성하기 위해 Sandia Flame D 데이터로부터 총 15개의 센서 지점을 선정하여 Table 1에 정리하였다. 본 연구의 센서 배치는 최적화된 배치가 아니라, 실제 산업 연소 설비에서 계측 지점이 제한되는 상황을 고려하여 반경 방향 분포 정보와 축 방향 발달 정보를 동시에 반영할 수 있도록 구성한 대표 배치이다.

Table 1.

Summary of sensor configuration

Group	Number of sensors	Location (x/d)
A	10	60
B	5	2, 3, 15, 30, 45
Validation	61	1, 2, 3, 15, 30, 45

Group A는 x/d = 60 하류 단면의 반경 방향 측정 지점으로부터 10개의 센서를 선정하였다. 이 위치는 화염 근거리의 고온·반응 영역과 비교할 때 온도 및 화학종 농도의 반경 방향 구배가 상대적으로 완만한 하류 영역에 해당하므로, 계측 장치의 설치, 운용 및 유지·보수 측면에서 보다 현실적인 계측 후보 위치로 볼 수 있다. 또한 Group A는 단일 하류 단면에서 반경 방향 분포의 폭과 외측 방향 감소 경향을 반영하므로, 전체 스칼라장 재구성에서 하류 영역의 반경 방향 구조를 보정하는 역할을 한다.

Group B는 중심선(r/d = 0) 상의 x/d = 2, 3, 15, 30, 45 위치에서 다섯 개의 센서를 선정하였다. 중심선은 축대칭 제트 화염에서 온도 및 주요 스칼라의 축 방향 발달을 대표적으로 관찰할 수 있는 위치이며, 적은 수의 측정 지점으로 노즐 근방의 반응 초기 영역부터 하류 영역까지의 변화를 추적할 수 있다. 따라서 Group B는 Group A가 제공하지 못하는 축 방향 발달 정보를 보완한다. 결과적으로 Group A와 Group B는 각각 하류 단면의 반경 방향 구조와 중심축을 따른 축 방향 발달 정보를 제공하도록 구성되었으며, 이를 통해 제한된 센서 수에서도 산업 계측 제약을 고려한 상호 보완적 공간 정보를 활용할 수 있도록 하였다. 검증용 센서는 x/d = 1, 2, 3, 15, 30, 45의 총 6개 축 방향 단면에서 각 단면의 반경 방향 측정 지점을 모두 포함하여 구성되며 총 61개이다. 이 지점들은 입력으로 사용되지 않은 독립 위치로서, 재구성 결과의 외삽 성능 평가에 활용된다.

또한 Group A에 해당하는 x/d = 60 위치에서 NO에 대해 반경 평균을 수행하였으며, 해당 값은 2.3절에 명시된 바와 같이 시뮬레이션값과 측정값 간의 크기 차이를 보정하기 위한 scaling factor, $γ_{N O}$ 산출에 활용된다. 본 연구에서는 온도, O₂, H₂O, CO, OH, NO를 대상 스칼라로 설정하고, 각 스칼라값을 동일한 센서 위치에서 추출하였다. Gappy POD는 재구성 대상 스칼라의 센서값을 직접 입력으로 사용하였으며, Two-step Cross-Variable Gappy POD는 온도 센서값만을 입력으로 사용하여 나머지 대상 스칼라의 센서값을 예측한 후 전체 스칼라장을 재구성하였다.

3.3 시뮬레이션 설정 및 수치 해법

POD 기저 구성에 사용된 시뮬레이션 스냅샷은 OpenFOAM v6을 사용한 Sandia Flame D 반응 유동 시뮬레이션으로부터 획득하였다. 설계 변수는 메탄 유입 속도(40~60 m/s)와 공기 유입 온도(273~400 K)의 두 변수로 설정하였으며, Latin Hypercube Sampling(LHS)을 이용하여 총 20개의 케이스를 생성하였다. LHS는 각 설계 변수의 범위를 표본 수와 동일한 개수의 구간으로 나누고, 각 구간에서 하나의 표본을 추출하므로, 제한된 표본 수에서도 각 변수의 범위를 균형 있게 포함할 수 있다. 또한 Gappy POD 적용 전 단계에서, 20개의 LHS 표본에 포함되지 않은 샘플링 범위 내부의 별도 운전조건에 대해 시뮬레이션 스냅샷으로 구성한 POD 기저의 재구성 성능을 확인하여 기저의 적절성을 평가하였다. 대표 스칼라인 온도와 O₂에 대해 해당 검증 조건의 NRMSE는 각각 0.291%와 0.267%로 나타났으며, 이는 20개 스냅샷으로 구성한 POD 기저가 해당 검증 조건의 주요 분포를 안정적으로 재구성할 수 있음을 보여준다. 또한 Table 2 및 Table 3에 나타난 바와 같이 99.9% 누적 에너지를 2–7개의 모드로 달성하였으며, 이는 본 연구에서 고려한 운전 조건 범위 내 스칼라장의 주요 변동이 비교적 저차원 구조로 표현될 수 있음을 의미한다. 따라서 20개의 LHS 스냅샷은 제안 방법의 성능 평가를 위한 POD 기저 구성에 적절한 수준임을 뒷받침한다.

시뮬레이션에는 Steady Laminar Flamelet Model(SLFM)이 적용되었으며, 혼합분율과 스칼라 소산률로 매개변수화된 flamelet 라이브러리로부터 열화학 상태를 재구성하였다. 계산 영역은 Sandia 버너의 축대칭 쐐기형 형상을 기반으로 노즐 출구 하류 방향 576 mm 범위로 설정하였으며, 약 16,050개의 정렬 격자로 구성된다. 난류 모델은 k–ε 모델을 적용하였으며, 경계 조건은 중심 예혼합 제트, 희박 예혼합 파일럿 화염, 동반(coflow) 유동으로 구성된 Sandia의 표준 구성과 동일하게 설정되었다. 시뮬레이션은 SIMPLE 알고리즘을 적용하여 정상상태 수렴까지 수행하였다.

4. 결과 및 토의

각 스칼라에 대해 기존 Gappy POD와 Two-step Cross-Variable Gappy POD를 적용한 결과를 비교 분석하였다. 본 논문에서는 표기 편의를 위해, 재구성 대상 스칼라의 측정값을 입력으로 사용하는 기존 Gappy POD를 Single-step Gappy POD로, 본 논문에서 제안된 방법을 Two-step Gappy POD로 약칭한다. Single-step Gappy POD의 모드 수 및 정규화 매개변수는 Table 2에, Two-step Gappy POD의 센서 행렬 POD 모드 수는 Table 3에 각각 정리하였다.

Table 2.

Parameters for each scalar in Single-step Gappy POD

Scalar	Number of POD modes	λ	Condition number
T	3	0	32.57
O₂	2	0	4.15
NO	4	0	48.50
OH	7	1×10^-4	17.89
CO	6	1×10^-4	16.78
H₂O	4	0	21.31

Table 3.

Parameters for the sensor matrix in Two-step Gappy POD

Scalar	Number of POD modes	Condition number
O₂	5	27.83
NO	3	9.88
OH	5	32.18
CO	5	5.07
H₂O	5	15.85

또한 새로운 제안 방법의 적용 가능성을 정량적으로 해석하기 위해 온도와 각 대상 스칼라 간의 피어슨 상관계수(Pearson correlation coefficient, ρ)를 계산하였으며, 그 결과를 Table 4에 정리하였다. Table 4의 상관계수 ρ는 온도와 각 대상 스칼라 간의 선형 상관성을 나타내며, 이하 분석에서 Two-step Gappy POD의 적용 가능성과 재구성 성능을 해석하기 위한 보조 지표로 참조한다. 본 연구에서 전체 스칼라장에 대한 기준 데이터가 존재하지 않고 희소한 센서값만을 검증 데이터로 활용할 수 있으므로, 전역적 정량 오차 지표를 산출하는 데 한계가 있다. 따라서 각 축 방향 단면에서의 반경 방향 분포를 중심으로 CFD 결과, 재구성 결과, 검증용 센서값 간의 분포를 비교하여 재구성 성능을 평가하였다.

재구성에 사용된 센서 위치는 온도 그래프(Fig. 2)에만 표시하였다. Single-step Gappy POD는 모든 스칼라에 대해 동일한 위치의 15개 센서를 입력으로 사용하였으며, Two-step Gappy POD는 해당 위치에서의 온도 측정값만을 재구성에 활용한다. 두 방법 간 센서의 역할이 상이하므로, 나머지 스칼라 분포 그래프에서는 재구성에 사용된 위치 표시를 생략하였다.

Table 4.

Pearson correlation coefficient between temperature and each scalar at the sensor locations

Scalar	ρ with respect to T
O₂	-0.961
NO	0.771
OH	0.842
CO	0.568
H₂O	0.991

4.1 스칼라별 재구성 결과

Fig. 2는 온도 T의 재구성 결과를 나타낸다. x/d = 15 및 x/d = 30에서 검증용 센서가 CFD 결과보다 전반적으로 낮은 값을 나타내며, 이는 CFD가 해당 위치의 온도를 과대 예측하고 있음을 보여준다. Single-step Gappy POD는 센서 정보를 반영하여 CFD보다 낮은 온도 수준을 재구성하였으나, x/d = 15에서는 피크 위치와 크기에서 다소 차이가 나타났고, x/d = 30에서는 외측 영역에서 편차가 발생하였다. 반면 x/d = 45에서는 검증용 센서와 비교적 잘 일치하였으며, 재구성 센서가 다수 분포한 x/d = 60에서도 온도 분포가 안정적으로 재현되었다.

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Fig. 2.

Radial profiles of the reconstructed temperature at selected axial locations

Fig. 3은 O₂의 재구성 결과를 나타낸다. O₂는 2개의 POD 모드만으로 에너지 누적률 99.9%를 달성하였으며, 이는 O₂ 분포가 시뮬레이션 데이터에서 비교적 단순한 저차원 구조로 표현될 수 있음을 의미한다. Single-step Gappy POD는 전반적으로 CFD와 유사한 반경 방향 분포를 보였으나, 단면별 센서 배치에 따라 보정 효과에 차이가 나타났다. x/d = 15 및 x/d = 30에서는 재구성 센서가 중심축 부근에 제한적으로 분포하여, 중간 반경 영역의 국소적인 O₂ 증가를 충분히 재현하지 못하고 과소 예측하였다. x/d = 45에서는 CFD보다 높은 O₂ 값을 예측하며 검증용 센서에 가까워지는 경향을 보였고, x/d = 60에서는 센서가 반경 방향으로 비교적 넓게 분포함에 따라 센서값에 가까운 O₂ 분포가 재구성되었다.

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Fig. 3.

Radial profiles of the reconstructed O₂ mass fraction at selected axial locations

Two-step Gappy POD는 전반적으로 Single-step Gappy POD와 매우 유사한 결과를 보였다. 이는 O₂와 온도 사이의 강한 음의 상관관계(ρ=–0.961)로 인해, 온도 센서 정보만으로도 유사한 재구성이 가능했음을 시사한다. 그러나 x/d = 15 및 x/d = 30의 중간 반경 영역에서는 두 방법 모두 국소적인 O₂ 증가를 충분히 재현하지 못하였는데, 이는 Single-step Gappy POD와 Two-step Gappy POD 모두 최종 스칼라장 재구성에 동일한 CFD 기반 O₂ POD 기저 2개의 모드를 사용하므로 전역적인 O₂ 분포를 표현하는 데에는 충분하지만, 특정 반경 영역의 국소적인 농도 증가를 표현하기에는 모드 자유도가 제한적이었기 때문이다. 또한 중간 반경 영역의 센서 정보가 부족하여, 이러한 국소 차이가 POD 계수 보정 과정에 충분히 반영되지 못한 것으로 판단된다.

Fig. 4는 NO의 재구성 결과를 나타낸다. CFD는 모든 단면에서 검증용 센서보다 현저히 높은 NO 값을 예측하였으며, 이는 2.3절에서 설명한 바와 같이 SLFM 기반 해석 조건에서 CFD가 NO를 전반적으로 과대 예측하고 있음을 보여준다. Single-step Gappy POD는 센서 정보를 반영하여 CFD의 과대 예측 경향을 크게 완화하였고, 전반적으로 검증용 센서와 유사한 농도 범위 내에서 NO 분포를 재구성하였다. x/d = 15에서는 NO 피크의 위치와 크기를 안정적으로 재현하였으며, x/d = 30에서는 피크 위치는 대체로 일치하였으나 피크 크기가 검증용 센서보다 다소 낮게 예측되었다. x/d = 45 및 x/d = 60에서는 반경 방향으로 감소하는 NO 분포가 잘 재현되었다.

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Fig. 4.

Radial profiles of the reconstructed NO mass fraction at selected axial locations

Two-step Gappy POD의 경우, NO와 온도 사이의 상관계수는 ρ = 0.771로서 두 변수 사이에 뚜렷한 양의 선형 상관성이 존재함을 보여준다. 이는 온도 센서 정보가 NO 분포의 전반적인 변화 경향을 일부 반영할 수 있음을 의미한다. 그러나 scaling을 적용하지 않은 Two-step Gappy POD는 전반적으로 검증용 센서보다 훨씬 높은 NO 값을 예측하였으며, 일부 구간에서는 CFD와 유사하거나 더 높은 수준을 보였다. 이는 정규화된 센서 행렬을 이용한 Two-step 과정이 온도와 NO 사이의 상대적인 변화 경향은 반영할 수 있으나, 본 해석 조건에서 나타난 CFD와 센서 간 절대 scale의 차이는 보정하지 못하기 때문으로 판단된다. 이에 따라 2.3절에서 정의한 $γ_{N O}$ scaling 적용 후에는 x/d = 30, 45, 60 위치에서 Single-step Gappy POD와 유사한 NO 분포가 재구성되었다. x/d = 15에서는 최대값이 Single-step Gappy POD보다 다소 높게 예측되었으나, scaling 전 결과에 비해 검증용 센서값에 가까운 수준으로 개선되었다. 따라서 NO 해석 결과와 같이 CFD와 센서 간 절대 scale 차이가 크게 나타나는 경우에는 온도와 대상 스칼라 간의 상관관계만으로는 Two-step Gappy POD의 재구성 성능을 충분히 확보하기 어렵다. 그러나 적절한 scaling 보정을 함께 적용함으로써 이러한 scale 차이를 완화하여 NO 분포를 검증용 센서값에 더 가까운 수준으로 재구성할 수 있음을 확인하였다.

Fig. 5는 OH의 재구성 결과를 나타낸다. OH는 화염면의 좁은 반응 영역에 집중적으로 분포하는 화학종으로서, 반경 방향으로 급격한 피크와 감소를 보인다. Single-step Gappy POD는 전반적으로 CFD보다 낮은 OH 수준을 예측하며 검증용 센서 분포에 가까운 결과를 보였다. x/d = 15에서는 OH 피크의 위치를 비교적 잘 재현하였으나, 피크 크기와 피크 이후 외측 영역에서는 일부 편차가 나타났다. x/d = 30에서는 OH 피크가 검증용 센서보다 낮게 예측되어 과소예측 경향이 뚜렷하였으며, x/d = 45에서는 반경 방향 감소 경향은 재현되었으나 내측 고농도 영역에서 일부 과소예측이 남아 있었다. 반면 x/d = 60은 재구성 센서가 상대적으로 밀집되어 있고, 동시에 OH 피크가 거의 소멸한 하류 영역에 해당하므로 CFD와 검증용 센서 간 차이가 작게 나타났으며, Single-step Gappy POD도 OH의 완만한 반경 방향 감소 분포를 안정적으로 재구성하였다.

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Fig. 5.

Radial profiles of the reconstructed OH mass fraction at selected axial locations

OH와 온도의 상관계수는 ρ=0.842로 뚜렷한 양의 상관관계를 보였으며, 이는 온도 센서 정보가 OH 분포의 전반적인 변화 경향을 일정 부분 반영할 수 있음을 의미한다. 그러나 Two-step Gappy POD는 단면에 따라 Single-step Gappy POD와 다른 재구성 분포 특성을 보였다. x/d = 15에서는 OH 피크를 검증용 센서보다 과대 예측하는 경향을 보였으나, x/d = 30에서는 피크 값을 Single-step Gappy POD보다 검증용 센서에 가깝게 재구성하였다. 다만 x/d = 30에서는 피크 이후 OH 값이 급격히 감소하여 외측 영역에서 일부 편차가 남았다. x/d = 45에서는 Two-step Gappy POD가 Single-step Gappy POD보다 내측 고농도 영역을 높게 예측하여 검증용 센서에 더 근접하였고, x/d = 60에서는 두 방법이 유사한 분포를 나타냈다. 이러한 결과는 OH와 온도 사이의 뚜렷한 선형 상관성이 존재하더라도, 화염면 부근의 좁은 반응 영역에 집중되는 OH의 피크 위치와 분포 폭까지 온도 센서 정보만으로 안정적으로 예측하는 데에는 한계가 있음을 나타낸다. 특히 온도 센서 위치가 OH 피크 또는 급격한 반경 방향 구배가 나타나는 영역을 충분히 대표하지 못할 경우, Two-step 과정에서 예측된 OH 센서값의 오차가 최종 스칼라장 재구성 오차로 전파될 수 있다.

Fig. 6은 CO의 재구성 결과를 나타낸다. CO는 연료 산화 과정에서 생성과 소모가 동시에 일어나는 주요 화학종으로서 화염 근거리에서 혼합 및 산화 반응 조건에 민감한 국소적 분포를 보인다. Single-step Gappy POD는 전체적으로 검증용 센서 분포를 잘 반영하였으나, 화염 근거리의 국소 피크 재현에는 한계를 보였다. x/d = 15에서는 검증용 센서에서 나타나는 피크 크기를 과소 예측하였으며, 내측 영역에서도 센서값과 차이를 보였다.

x/d = 30에서도 전반적인 감소 경향은 나타났으나, 센서에서 확인되는 내측 고농도 영역과 국소 피크를 충분히 재현하지 못하였다. 반면 x/d = 45에서는 Single-step Gappy POD가 검증용 센서 분포에 가까운 CO 값을 예측하며 반경 방향 감소 경향을 안정적으로 재현하였다. x/d = 60에서는 CO 농도가 전반적으로 매우 낮아 CFD와 검증용 센서 간 절대값 차이가 작으며, Single-step Gappy POD도 낮은 CO 농도 분포를 안정적으로 재구성하였다.

Two-step Gappy POD는 일부 단면에서 Single-step Gappy POD보다 CO 피크를 높게 재구성하였으나, 검증용 센서와의 일치도가 일관되게 향상되지는 않았다. CO와 온도 사이의 상관계수는 ρ=0.568로 다른 스칼라에 비해 낮게 나타났으며, 이는 CO 분포가 온도장만으로 설명되기보다는 혼합 및 산화 반응 조건의 영향을 크게 받기 때문으로 판단된다. x/d = 15에서는 Two-step Gappy POD가 Single-step Gappy POD보다 피크를 높게 예측하여 검증용 센서의 고농도 피크에 가까워졌으나, 피크 주변 일부 반경에서는 CFD에 가까운 높은 값을 보여 과대예측 경향을 보였다. x/d = 30에서는 내측 고농도 영역을 과대예측하였으며, x/d = 45에서는 반대로 내측 영역을 낮게 예측하였다. 이에 따라 두 단면 모두에서 검증용 센서와의 편차가 크게 나타났다. x/d = 60에서는 CO 농도가 전반적으로 매우 낮아 두 방법 간 차이가 거의 나타나지 않았다. 따라서 CO의 경우, 본 연구의 센서 배치와 해석 조건에서는 온도 센서 정보만으로 국소 고농도 영역과 단면별 피크 변화를 안정적으로 보정하기 어려운 것으로 해석된다.

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Fig. 6.

Radial profiles of the reconstructed CO mass fraction at selected axial locations

Fig. 7은 H₂O의 재구성 결과를 나타낸다. H₂O는 주요 연소 생성물로서 OH나 CO에 비해 상대적으로 완만한 반경 방향 분포를 보인다. Single-step Gappy POD는 전반적인 H₂O 분포 경향을 재현하였으나, 단면에 따라 검증용 센서와의 편차가 나타났다. x/d = 15에서는 검증용 센서의 분포 경향을 대체로 따랐으나, 피크 위치가 내측으로 치우치고 피크 크기가 다소 과대예측되었다. x/d = 30에서는 내측 고농도 영역은 잘 재현되었으나, 중간 반경 이후의 감소 구간에서 검증용 센서보다 낮은 값을 보였다. x/d = 45 및 x/d = 60에서는 Single-step Gappy POD가 검증용 센서와 비교적 유사한 반경 방향 감소 경향을 보였다.

H₂O와 온도 사이의 상관계수는 ρ=0.991로 매우 강한 양의 선형 상관성을 보였으며, 이는 온도 센서 정보가 H₂O 분포의 전반적인 변화 경향을 잘 반영할 수 있음을 의미한다. 그러나 Two-step Gappy POD는 x/d = 15에서는 Single-step Gappy POD와 유사한 피크 분포를 보인 반면, x/d = 30 이후에는 중간 반경 이후의 감소가 더 빠르게 나타나며 검증용 센서보다 낮은 값을 예측하였다. 특히 x/d = 45 및 x/d = 60에서는 Single-step Gappy POD보다 전반적으로 낮은 H₂O 분포를 보여 검증용 센서와의 편차가 증가하였다. 이는 H₂O와 온도 사이의 선형 상관성이 충분히 높아도, 제한된 온도 센서 위치만으로 H₂O의 반경 방향 감소 구간과 분포 폭을 정확히 반영하기에는 한계가 있음을 보여준다.

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Fig. 7.

Radial profiles of the reconstructed H₂O mass fraction at selected axial locations

4.2 종합 토의 및 적용성 분석

이상의 결과로부터 Single-step Gappy POD의 재구성 성능은 스칼라의 공간적 분포 특성과 재구성에 사용된 센서의 배치에 크게 의존함을 확인할 수 있다. 전반적으로 Single-step Gappy POD는 CFD 기반 POD 기저의 전체적인 공간 구조를 유지하면서 센서 정보를 반영하여 CFD와 센서 간의 차이를 완화하는 방향으로 스칼라장을 재구성하였다.

특히 NO와 같이 CFD의 예측 편향이 크게 나타난 스칼라에서는 센서 정보를 통해 과대 예측 경향을 효과적으로 완화하였으며, 센서가 충분히 분포한 x/d = 45 및 x/d = 60에서는 대부분의 스칼라에 대해 안정적인 재구성 결과를 보였다.

반면 x/d = 15 및 x/d = 30과 같은 화염 근거리에서는 제한된 센서 배치로 인해 중간 반경 영역의 국소 피크와 급격한 농도 변화를 충분히 보정하지 못하였다. 이는 POD 기저가 시뮬레이션 스냅샷의 전역적인 에너지 보존을 기준으로 구성되기 때문에, 높은 에너지 누적률이 특정 단면에서의 국소 구조 재현을 반드시 보장하지는 않기 때문이다. 이러한 한계는 OH와 CO처럼 좁은 반응 영역 또는 연료 과잉 영역에 집중적으로 분포하는 스칼라에서 더욱 두드러졌으며, Single-step Gappy POD 기반 센서 보정에서도 POD 모드 수뿐만 아니라 센서의 공간적 배치가 중요한 요소임을 보여준다.

Two-step Gappy POD의 적용성은 온도와 대상 스칼라 간의 상관관계, CFD와 센서 간의 절대scale 차이, 그리고 온도 센서 배치의 공간적 대표성에 의해 복합적으로 좌우되었다. O₂(ρ = –0.961)는 강한 음의 선형 상관성과 단순한 저차원 구조로 인해 Single-step Gappy POD와 유사한 재구성 성능을 보였다. OH(ρ = 0.842)와 H₂O(ρ = 0.991)는 높은 상관계수에도 불구하고 국소 피크와 반경방향 구배 재현에 단면별 편차가 나타났으며, 이는 피어슨 상관계수가 전반적인 선형 관계를 나타내는 지표일 뿐 국소 구조 재현을 보장하지는 않음을 보여준다. CO(ρ = 0.568)는 낮은 상관계수로 인해 일관된 성능 향상을 보이지 못하였다. NO(ρ = 0.771)의 경우 CFD와 실험값 간 절대 scale 차이가 지배적으로 작용하였으나, $γ_{N O}$ scaling 보정을 통해 이를 효과적으로 완화하였다. 이는 Two-step Gappy POD 적용 시 상관 계수뿐만 아니라 시뮬레이션과 실험 데이터 간의 체계적인 scale 편향도 함께 고려해야 함을 시사한다.

5. 결 론

본 연구에서는 희소한 센서 환경에서 다중 스칼라장을 재구성하기 위한 Two-step Cross-Variable Gappy POD 방법을 제안하고, Sandia Flame D를 검증 케이스로 하여 Single-step Gappy POD와 재구성 성능을 비교하였다. Two-step Cross-Variable Gappy POD 방법은 계측 가능한 온도 센서값을 이용해 직접 계측이 어려운 대상 스칼라의 센서 위치값을 먼저 예측한 뒤, 이를 Gappy POD의 입력 조건으로 사용하여 전체 스칼라장을 재구성하는 2단계 구조를 갖는다. 이를 통해 각 대상 스칼라의 측정값이 요구되는 기존 Gappy POD를 확장하여 계측 가능한 변수 기반의 교차 변수 스칼라장 재구성으로 확장할 수 있음을 확인하였다.

Single-step Gappy POD는 센서가 충분히 분포되어 있거나 CFD와 실험값 간 차이가 작은 영역에서 비교적 안정적인 성능을 보였다. 특히 NO와 같이 CFD에 의한 과대 예측 경향이 뚜렷한 스칼라에서도 센서 정보를 반영하여 예측 편향을 효과적으로 완화할 수 있었다. 반면 화염 근거리(x/d = 15, 30)에서는 제한된 센서 배치로 인해 국소 피크와 급격한 농도 구배를 충분히 보정하지 못하였으며, 이는 POD 기저의 전역적 에너지 레벨이 특정 위치의 국소 구조 재현을 보장하지 않기 때문이다.

Two-step Gappy POD는 각 스칼라의 직접 계측 없이도 온도 센서값만으로 다수의 스칼라장을 재구성할 수 있음을 보여주었다는 점에서 의의를 갖는다. 특히 산업 현장에서 고온·반응 영역의 직접 계측이 물리적으로 불가능한 경우에도, 접근 가능한 온도 센서만을 활용하여 계측 불가능한 스칼라의 공간 분포를 간접적으로 추정할 수 있는 프레임워크를 제공한다는 점에서 디지털 트윈 구현에 실용적 이점을 제공한다. O₂와 같이 온도와 강한 일관된 선형 상관관계를 갖는 스칼라에 대해서는 Single-step Gappy POD와 유사한 재구성 성능을 달성하였으며, scale 보정을 통해 CFD–실험값 간의 일관된 scale 차이 문제도 효과적으로 완화할 수 있음을 확인하였다.

다만 본 연구의 방법론은 몇 가지 적용 범위와 보완점을 갖는다. 본 연구는 정상상태 CFD 스냅샷 데이터베이스를 기반으로 검증되었으므로, 비정상 운전 조건이나 시간 의존적 거동을 갖는 연소장에 대해서는 추가적인 확장이 필요하다. 또한 Two-step Gappy POD는 센서 공간에서 입력 스칼라와 대상 스칼라 사이의 저차원 상관 구조를 POD 기반 선형 결합으로 표현하므로, OH, H₂O, CO와 같이 국소 반응 영역에 집중되거나 비선형적 상관 특성이 강한 스칼라에서는 센서 배치와 POD 모드 표현력에 따라 재구성 성능이 제한될 수 있다. NO에 적용한 scaling factor 역시 단일 하류 단면의 반경 평균값을 이용한 전역 보정 계수이므로, 공간적으로 변화하는 scale 차이를 완전히 반영하기에는 한계가 있다. 또한 본 연구의 센서 배치는 산업 계측 접근성을 고려한 대표 배치이나 최적 배치는 아니며, Sandia Flame D 실험 데이터의 희소 측정값을 기준으로 검증하였기 때문에 실험 전체장에 대한 전역 오차 평가는 수행하지 못하였다. 따라서 실제 산업 현장에서의 재구성 성능은 피어슨 상관계수뿐만 아니라 대상 스칼라의 공간 분포 특성, CFD–센서 간 절대 scale 차이, 센서 배치의 공간적 대표성, 그리고 운전 조건의 시간 의존성을 함께 고려하여 평가할 필요가 있다.

향후 연구에서는 비정상 데이터베이스로의 확장, 추가 보조 변수 도입, 비선형 센서 공간 모델링, 다중 기준 위치 또는 공간 가중 기반 calibration, 스냅샷 수 및 센서 배치에 대한 체계적인 민감도 분석을 검토할 필요가 있다. 또한 다수 변수를 동시에 연계하는 Coupled Gappy POD 프레임워크로 발전시킴으로써 다양한 공학 시스템의 실시간 상태 추정 및 디지털 트윈 모듈로의 확장이 가능할 것으로 기대된다.

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Journal of Computational Fluids Engineering ISSN:1598-6071(Print) 3022-6252(Online) 한국전산유체공학회지

Preview

TWO-STEP CROSS-VARIABLE GAPPY POD FOR MULTI-SCALAR FIELD FROM SPARSE TEMPERATURE MEASUREMENTS IN TURBULENT COMBUSTION

ABSTRACT

MAIN

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

Fig. 1.

Comparison of Gappy POD and Two-step Cross-Variable Gappy POD procedures

Table 1.

Summary of sensor configuration

Table 2.

Parameters for each scalar in Single-step Gappy POD

Table 3.

Parameters for the sensor matrix in Two-step Gappy POD

Table 4.

Pearson correlation coefficient between temperature and each scalar at the sensor locations

Fig. 2.

Radial profiles of the reconstructed temperature at selected axial locations

Fig. 3.

Radial profiles of the reconstructed O2 mass fraction at selected axial locations

Fig. 4.

Radial profiles of the reconstructed NO mass fraction at selected axial locations

Fig. 5.

Radial profiles of the reconstructed OH mass fraction at selected axial locations

Fig. 6.

Radial profiles of the reconstructed CO mass fraction at selected axial locations

Fig. 7.

Radial profiles of the reconstructed H2O mass fraction at selected axial locations

References

Radial profiles of the reconstructed O₂ mass fraction at selected axial locations

Radial profiles of the reconstructed H₂O mass fraction at selected axial locations