VALIDATION AND EVALUATION OF KNOPP ROUGHNESS MODELING FOR TURBULENT FLOW AND HEAT TRANSFER UNDER VARYING ROUGHNESS REGIMES

S. Jeong; S. Han; B.J. Lee

doi:10.6112/kscfe.2025.30.4.019

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Original Article

Journal of Computational Fluids Engineering. 31 December 2025. 19-31
https://doi.org/10.6112/kscfe.2025.30.4.019

VALIDATION AND EVALUATION OF KNOPP ROUGHNESS MODELING FOR TURBULENT FLOW AND HEAT TRANSFER UNDER VARYING ROUGHNESS REGIMES

다양한 거칠기 구간에서의 난류 유동 및 열전달에 대한 Knopp 거칠기 모델의 검증 및 평가

S. Jeong¹

S. Han¹

B.J. Lee¹²^†

정 석현¹

한 서음¹

이 복직¹²^†

¹Department of Aerospace Engineering, Seoul National University

²Institute of Advanced Aerospace Technology, Seoul National University

¹서울대학교 항공우주공학과

²서울대학교 항공우주신기술연구소

^{*Corresponding Author}

License (open-access, http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0):

This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0) which permits unrestricted noncommercial use, distribution, and reproduction in anymedium, provided the original work is properly cited.

ABSTRACT

Accurate modeling of surface roughness effects is critical for predicting turbulent flow and heat transfer characteristics in practical engineering systems. This study investigates the performance and applicability of the Knopp roughness model coupled with the $k - ω$ SST turbulence model implemented in CRUNCH CFD, validated against two benchmark experimental datasets: the incompressible turbulent pipe flow experiments by Nikuradse and the transcritical heat transfer experiments in supercritical hydrogen flow by Niino. To comprehensively assess the model’s predictive capability, two different near-wall treatment strategies, the wall-function approach and the wall-resolved approach, were systematically applied and compared. For the Nikuradse cases, the wall-function approach demonstrated stable and accurate predictions of velocity profiles and friction factors across hydraulically smooth to fully rough regimes. Conversely, the wall-resolved approach exhibited high accuracy in smooth and fully rough conditions but encountered increased deviations in the transitionally rough regime, attributed to the model’s inherent reliance on the single nondimensional roughness parameter ( $k_{s}^{+}$ ), thus lacking sensitivity to Reynolds number variations. In the Niino cases involving supercritical hydrogen flows, characterized by significant near-wall property gradients and thermal spikes, the wall-resolved approach consistently yielded accurate predictions of thermal behavior and pressure drop, whereas the wall-function approach showed limitations in accurately capturing thermal spike phenomena under high heat flux conditions. The findings highlight the effectiveness of the Knopp model combined with wall-resolved methods for complex, thermally sensitive conditions, while suggesting further model improvements incorporating additional flow variables to enhance predictions in transitionally rough regimes.

Keywords

Roughness model

Turbulence model

Supercritical flow

Heat transfer

Computational fluid dynamics

키워드

거칠기 모델

난류 모델

초임계 유동

열전달

전산유체역학

MAIN

1. 서 론
2. 표면 거칠기 해석을 위한 이론적 배경
2.1 거친 표면에서의 난류 유동 특성 및 거칠기 구간 분류
2.2 전통적 거칠기 보정 기법: standard wall-function 접근법
2.3 $k - ω$ 기반 Knopp 모델의 거칠기 보정 기법
3. 수치 해석 조건
3.1 Nikuradse의 sand-grain roughness 실험
3.2 Niino의 초임계 수소 실험
4. 수치 해석 결과
4.1 Nikuradse의 실험 기반 검증
4.2 Niino의 실험 기반 검증
5. 결 론

1. 서 론

표면 거칠기는 내부 유동의 마찰 손실과 열전달 성능에 직접적인 영향을 미치는 주요 인자이다. 특히 로켓이나 스크램제트 엔진의 냉각 채널과 같은 고열유속 유로에서는, 채널 내 연료의 열분해(cracking)로 인한 물성 변화까지 수반될 수 있으므로 정확한 열전달 해석이 매우 중요하다[1]. 최근 소형 액체 로켓 엔진의 수요가 증가함에 따라, 이에 적합한 고성능 냉각 채널의 설계 및 최적화에 대한 관심이 높아지고 있다[2]. 이러한 단면적 기준 수 mm² 수준의 소형 채널은 유효 유동 단면적이 작아 상대 거칠기(relative roughness)가 커지는 경향이 있으며, 이에 따라 표면 상태가 유동 및 열전달 특성에 미치는 영향이 더욱 민감하게 나타난다. 또한, 가공 정밀도의 한계나 제조비용 제약으로 인해 매끈한 표면(smooth surface)을 구현하는 데 현실적 어려움이 존재하며, 특히 항공우주 분야에서 주목받고 있는 금속 적층 제조(additive manufacturing) 공정은 본질적으로 높은 표면 거칠기를 수반한다[3].

이러한 배경에서 냉각 채널 내부의 거칠기 효과를 수치적으로 정량화하고, 이를 해석에 반영할 수 있는 기법의 개발은 실제 설계 단계에서의 필수 과제로 부각되고 있다. 표면 거칠기의 유동 특성에 대한 체계적인 연구는 20세기 초부터 수행되어 왔으며, 대표적으로 Nikuradse는 규칙적인 모래입자(sand-grain roughness)를 사용해 난류 관 유동에서의 거칠기 효과를 정량적으로 규명하였다[4]. 이 실험은 이후 Moody chart로 확장되어, 상대 거칠기와 레이놀즈수에 따른 Darcy 마찰계수 예측의 기초 자료로 활용되고 있다[5]. 이를 바탕으로 다양한 수치 모델들이 개발되었으며, 최근에는 초임계 유체나 극저온 조건 등 물성이 급변하는 복잡한 열유동 해석까지 고려된 고정밀 모델에 대한 연구가 이뤄지고 있다[6,7,8,9,10].

CFD에서 거칠기를 반영하기 위해, 전통적인 ‘standard wall-function’이 널리 사용되어 왔다. 이 기법은 간단한 경험식을 기반으로 벽면 근처 유동을 모델링하므로 필요한 계산 자원이 적고 구현이 간편하다는 장점이 있다. 하지만 복잡한 형상이나 물성 구배가 극심한 환경에서는 정확도 확보에 한계가 뚜렷하다. 이러한 한계를 극복하기 위해 최근에는 $k - ω$ SST와 같은 현대적인 난류 모델에 적용되는 Knopp 거칠기 보정 기법 등이 주목받고 있다. Knopp 기법은 벽면 근처의 격자 구성 방식에 따라 ‘wall-function 접근법’과 ‘resolved-wall 접근법’으로 나뉜다. 특히 resolved-wall 접근법은 높은 격자 해상도와 계산 비용을 요구하지만, 보다 정확한 벽면 근처 유동 특성 및 열전달 해석이 가능하다는 장점이 있다. 그러나 거칠기 크기, 레이놀즈수, 열유속 등의 해석 조건에 따라 어느 접근법이 더 적절한지에 대한 명확한 기준은 아직 정립되어 있지 않으며, 이에 대한 체계적인 비교 연구가 필요한 상황이다. 본 연구에서는 대표적인 내부 유동 실험 결과를 기반으로, wall-function 접근법과 resolved-wall 접근법에서의 거칠기 모델 해석 정확도를 정량적으로 비교하였으며, 그 결과를 바탕으로 각 접근법의 예측 성능과 적용 한계를 평가하였다. 이를 통해 실제 설계 조건에서 최적의 해석 방법을 선정할 수 있는 기준을 제시하였다.

2. 표면 거칠기 해석을 위한 이론적 배경

2.1 거친 표면에서의 난류 유동 특성 및 거칠기 구간 분류

표면 거칠기를 정량적으로 표현하기 위한 주요 파라미터로는 산술 평균 거칠기( $R_{a}$ ), 제곱 평균 거칠기( $R_{RMS}$ ), 최대 높이차( $R_{z}$ ), 등가 모래입자 거칠기( $k_{s}$ ), 거칠기 레이놀즈수( $k_{s}^{+}$ ), 비대칭도( $s_{k}$ ) 등이 있으며, 이들의 정의는 Table 1에 정리되어 있다. 이들 파라미터는 산업 현장에서 표면 품질 평가 또는 가공 공정의 규격 정의에 활용되며, CFD 해석에서는 이중 $k_{s}$ 가 가장 널리 사용된다. 이는 구형 모래입자가 균일하게 분포된 표면을 가정한 sand-grain roughness 모델에 기반한 것으로, 해당 개념은 Nikuradse의 실험을 통해 도입되었다. 실험에서는 동일한 크기의 모래입자를 관 내벽에 부착하여 거친 표면 조건을 구현하였다. 이러한 표면은 실제 표면과는 기하학적으로 차이가 있으나, 단순한 형상과 풍부한 실험 데이터로 인해 이후 수치 모델링의 기준으로 널리 채택되고 있다. 복잡한 실제 표면의 거칠기를 $k_{s}$ 로 환산하기 위한 다양한 경험적 상관식이 제안되어 왔으며, 그중 대표적인 상관식이 Table 1에 제시되어 있다. 이때 $y_{i}$ 는 거칠기 요소의 높이, $u_{τ}$ 는 마찰 속도(friction velocity), 𝜈는 동점성 계수이다.

Table 1.

Summary of roughness parameters and definitions

$R_{a}$	$R_{RMS}$	$R_{z}$	$k_{s}$	$k_{s}^{+}$	$s_{k}$
Arithmetic mean rougheness	Root-mean-square roughness	Maximum peak to valley height	Equivalent sand-grain roughness	Roughness Reynolds number	Skewness
$\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \| y_{i} \|$	$\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \| y_{i}^{2} \|}$	$\max y_{i} + \| \min y_{i} \|$	$5.863 R_{a}$ [11]	$\frac{k_{s} u_{τ}}{ν}$	$\frac{1}{n (R_{RMS})^{3}} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{3}$

거칠기가 유동에 미치는 영향을 정량화하기 위해, 일반적으로 표면 거칠기 높이를 무차원화한 $k_{s}^{+}$ 를 기준으로 거칠기 구간을 세 가지로 분류한다. Nikuradse는 균일한 모래알 거칠기(uniform sand-grain roughness) 조건에서 각각의 유동 구간에 대한 경계를 $k_{smooth}^{+} = 5$ , $k_{rough}^{+} = 70$ 으로 제시한 바 있으며[12], 이후 다양한 형상과 유동 조건을 고려한 연구에서는 이 경계값들이 다소 조정되기도 하였다[13,14]. 첫 번째로 $k_{s}^{+} < k_{smooth}^{+}$ 인 경우는 hydraulically smooth regime으로 분류되며, 이때 거칠기 요소는 경계층의 점성 저층(viscous sublayer) 내에 완전히 포함되어 있는 상태이다. 이 구간에서는 거칠기의 효과가 유동 특성에 실질적인 영향을 주지 않으며, 마찰 계수(friction factor)나 속도 분포 등 유동 특성은 매끄러운 벽면과 유사하게 유지된다. 두 번째는 $k_{smooth}^{+} < k_{s}^{+} < k_{rough}^{+}$ 범위로, transitionally rough regime으로 분류된다. 이 구간에서는 점성 효과와 거칠기 요소의 난류 유발 효과가 동시에 작용하며, 경계층 내 점성 저층이 부분적으로 붕괴된다. 거칠기 형상과 유동 조건에 따라 난류 구조가 민감하게 반응하고, 이로 인해 $R_{a}$ , $R_{RMS}$ , $s_{k}$ 등 거칠기의 다양한 기하학적 변수에 따른 유동 특성 차이가 뚜렷하게 나타난다. 이로 인해, 여러 실험 및 고정밀 수치 해석 결과를 종합하더라도 보편적으로 적용 가능한 단일한 거칠기 함수식을 정의하기는 어렵다는 점이 보고된 바 있다[11]. 마지막으로 $k_{rough}^{+} < k_{s}^{+}$ 인 경우는 fully rough regime으로 분류되며, 이 구간에서는 거칠기 요소가 점성층 외부로 돌출되어 경계층의 난류 구조에 직접 영향을 미친다. 이 경우, 거칠기에 의해 유도된 와류와 난류 유동이 지배적으로 작용하며, 점성 효과는 유동 특성에 거의 영향을 미치지 않게 된다. 따라서 이 영역에서는 레이놀즈수와 무관하게 마찰 계수와 유동 특성이 $k_{s}^{+}$ 에 의해 결정된다.

2.2 전통적 거칠기 보정 기법: standard wall-function 접근법

본 연구에서 $k - ω$ 기반 Knopp 거칠기 모델의 적용성과 성능을 본격적으로 다루기에 앞서, 수치해석에서 전통적으로 활용되어 온 standard wall-function 기반 거칠기 보정 기법의 개념과 적용 방식을 간략히 정리한다. 전통적 거칠기 보정 기법에서는, 거친 표면에서도 매끄러운 표면과 유사한 로그층(logarithmic layer)이 형성되지만, 이 로그층이 벽면 방향으로 평행 이동(parallel shift)한다는 점에 주목한다. 이 이동량은 거칠기의 크기에 따라 결정되며, 일반적으로 거칠기가 클수록 로그층이 벽면에 더 가까워지는 경향을 보인다. 이는 거칠기 요소가 점성 저층을 파괴하면서 난류가 조기에 발달하기 때문이며, 그 결과 경계층 내 속도 분포가 변화하게 된다. 전통적인 standard wall-function에서는 이와 같은 로그층의 이동을 경험적 상관식을 통해 모사하며, 이를 통해 거칠기 효과를 간단히 반영할 수 있다. 로그층에서의 평균 속도 분포는 일반적으로 식 (1)과 같이 표현되며, 거칠기 보정은 로그항의 절편에 해당하는 상수 값( $Δ U^{+}$ )을 거칠기 함수로 보정하는 방식으로 구현된다. 이를 통해 거칠기 크기에 따른 평행 이동 효과를 반영할 수 있다. 여기서 𝜅는 Von Karman 상수로, 약 0.41의 값을 가지며, $U^{+}$ 는 실제 속도를 $u_{τ}$ 로 정규화한 무차원 속도이다.

(1)

U^{+} = \frac{1}{κ} \ln y^{+} + 5.1 - Δ U^{+}

Ligaga et al.[13]은 $k_{s}^{+}$ 에 따라 로그층의 이동량을 예측하는 식 (2)를 제안하였다. 이 모델은 사인 함수를 기반으로 구성되어 hydraulically smooth와 fully rough 영역에서 각각의 값이 Nikuradse의 실험 결과와 일치하도록 설계되었으며, transitionally rough 구간에서도 연속적인 변화를 나타내도록 설계되었다. White et al.[15]은 식 (3)과 같은 간단한 형태의 Colebrook-type 거칠기 함수를 제안하였다.

(2)

Δ U^{+} = (\frac{1}{κ} \ln k_{s}^{+} + 5.1 - 8.5) \sin (\frac{π g}{2}), g = \{\begin{cases} 0 : k_{s}^{+} < k_{smooth}^{+} \\ \frac{\ln k_{s}^{+} - \ln k_{smooth}^{+}}{\ln k_{rough}^{+} - \ln k_{smooth}^{+}} : k_{smooth}^{+} < k_{s}^{+} < k_{rough}^{+} \\ 1 : k_{rough}^{+} < k_{s}^{+} \end{cases}

(3)

Δ U^{+} = \frac{1}{κ} \ln (1 + 0.3 k_{s}^{+})

2.3 $k - ω$ 기반 Knopp 모델의 거칠기 보정 기법

표면 거칠기가 난류 유동에 미치는 영향을 보다 정확히 반영하기 위해, 벽면 인근을 높은 공간 해상도( $y^{+}$ <1)로 해석하는 연구들이 수행되어 왔다. LES나 DNS와 같은 고신뢰도 수치 해석 기법을 통해 실제 표면 거칠기 형상을 기반으로 한 직접 해석 방식이 적용되었다[16,17,18,19]. 그러나 이러한 접근은 해석을 위한 격자 생성 및 계산 과정 전반에서 높은 계산 자원이 요구된다는 한계가 있다. 이러한 제약을 극복하기 위해, 표면 형상을 직접 모사하지 않으면서도 높은 해상도에서 거칠기 효과를 반영할 수 있는 다양한 거칠기 모델이 제안되었다. 특히 $k - ω$ 난류 모델 기반 거칠기 모델은 벽면 인접 격자에서의 물리적 타당성을 확보할 수 있다는 점에서 널리 사용되고 있으며, Wilcox, Knopp, Aupoix 등의 모델이 대표적으로 알려져 있다. 본 연구에서는 SST 모델 수식의 단순성과 제한된 계산량의 장점을 유지하면서도 다양한 난류 조건에서 확장성이 높은 Knopp 모델에 주목하였다. 해당 모델은 벽면 인접 격자의 크기에 따라 wall-function 방식과 wall-resolved 방식으로 구분하여 적용하였으며, 각 접근법에 대해 수치 구조, 적용 원리, 예측 정확도를 체계적으로 평가하였다.

Knopp 모델은 $k - ω$ 난류 모델 기반의 기존 거칠기 모델이 갖고 있던, 과도하게 미세한 벽면 격자를 요구하는 한계를 보완하고자 제안되었다. 이 모델은 Aupoix 등이 SA 난류 모델에 적용했던 거칠기 반영 방법[20]을 확장하여 $k - ω$ 난류 모델에 도입한 것으로, 벽함수 접근법과 마찬가지로 거친 벽면에서의 로그층이 평행이동하는 물리적 현상에 기초한다. 해당 모델은 로그층의 이동 효과를 고려하여 첫 셀 높이 $y_{p}$ 를 $d_{0}$ 만큼 이동한 위치로 치환하여 해석에 적용한다. 이때 fully rough 가정하에서 점성 저층 영역이 완전히 파괴된다는 전제 아래, $d_{0} ≪ y_{p}$ 가정을 통해 식 (4)가 성립한다.

(4)

d_{0} = \exp (- 8.5 κ) k_{s} \approx 0.03 k_{s}

따라서 $d_{0} / y_{p} \approx 0.03 k_{s} / y_{p} = 0.03 k_{s}^{+} / y^{+} ≪ 1$ 이므로, $y^{+} \geq k_{s}^{+}$ 조건에서 해당 가정을 만족한다고 할 수 있다. 이때 점성 저층이 완전히 소멸되었다고 가정하므로, fully rough regime에서는 벽면 인접셀의 $k$ 및 𝜔값이 식 (5)와 같이 로그층의 특성을 따르도록 설정된다. 이때 $β_{k}$ 는 $k - ω$ 난류 모델 상수로 약 0.09의 값을 가진다.

(5)

k_{rough} = \frac{u_{τ}^{2}}{β_{k}^{1 / 2}}, ω_{rough} = \frac{u_{τ}}{β_{k}^{1 / 2} κ (y + d_{0})}

Knopp 모델은 fully rough regime뿐 아니라 transitionally rough regime 및 hydraulically smooth regime에서도 정확도와 연속성을 확보하기 위해 damping function $ϕ_{1}, ϕ_{2}$ 을 도입하였다. 이 함수들은 $k_{s}^{+}$ 만의 함수로 구성되며, $k_{s}^{+}$ 가 작을 경우 0에 수렴하고, 클 경우 1에 수렴하는 형태로 구성된다. 모델은 식 (6)과 같은 형태로 $k - ω$ SST 난류 모델의 벽면 난류 경계조건에 적용된다. 이때 $y_{p}$ 는 첫 번째 격자점의 벽 수직 거리이다. Table 2는 $k_{s}^{+}$ 값 및 격자 해상도 수준에 따라 Knopp 모델의 거칠기 보정 기법이 어떻게 적용되며, 예측 정확도가 어떻게 달라지는지를 종합적으로 제시하고 있다.

(6)

k_{wall} = ϕ_{r 1} \frac{u_{τ}^{2}}{β_{k}^{1 / 2}}, ω_{wall} = \min (\frac{u_{τ}}{β_{k}^{1 / 2} κ ϕ_{r 2} 0.03 k_{s}}, \frac{60 ν}{β_{ω} y_{p}^{2}})

$k_{s}^{+}$ 가 작은 경우, 거칠기 모델은 거의 작동하지 않고 기존 $k - ω$ SST 모델을 그대로 사용하여 높은 예측 정확도를 기대할 수 있다. $k_{s}^{+}$ 와 $y^{+}$ 가 모두 큰 경우에는 Knopp 모델의 물리적 가정이 성립하는 영역으로, 역시 높은 정확도를 기대할 수 있다. 하지만 $k_{s}^{+}$ 는 크고 $y^{+}$ 가 작은 경우, damping function의 보정 영향이 지배적으로 작용하여, 예측 오차가 증가하는 경향이 나타난다. Nikuradse의 실험 결과에 따르면, fully rough regime에서는 $k_{s}^{+}$ 하나의 변수만으로 유동 특성이 결정되지만, transitionally rough regime에서는 $k_{s}^{+}$ 와 레이놀즈수 가 동시에 유동에 영향을 미친다[4]. 따라서 해당 모델처럼 $k_{s}^{+}$ 만으로 거칠기를 정의하는 모델의 경우, fully rough regime에서는 높은 신뢰도의 예측이 가능하지만, transitionally rough regime에서는 상대적으로 낮은 예측 정확도를 보일 수 있는 한계가 존재한다.

Table 2.

Summary of roughness regime treatments and accuracy criteria in the Knopp model

Roughness regime	Wall-resolved( $y^{+}$ <1)	Wall-function(30< $y^{+}$ )
Smooth(low $k_{s}^{+}$ )	$ϕ_{1}, ϕ_{2}$ ≈0(no modification) → High accuracy	$ϕ_{1}, ϕ_{2}$ ≈0(no modification) → High accuracy
Rough(high $k_{s}^{+}$ )	$0 < ϕ_{1}, ϕ_{2} < 1 (k_{s}^{+} < 90)$ $ϕ_{1} = ϕ_{2} = 1 (k_{s}^{+} > 90)$ → Medium to high accuracy	$d_{0} ≪ y_{p}$ assumption satisfied → High accuracy

3. 수치 해석 조건

3.1 Nikuradse의 sand-grain roughness 실험

본 연구에서는 일반적인 저속 관 유동에서 Knopp 모델의 거칠기 효과를 정량적으로 평가하기 위해, Nikuradse의 실험 결과를 수치 해석 대상으로 선정하였다. 해당 실험은 규격화된 모래 입자를 이용해 벽면에 거칠기를 구현하고, 관 반지름 대비 거칠기 요소의 비가 507, 252, 126, 15 등 다양한 조건에서 완전히 발달한 관 유동의 특성을 반경 방향으로 측정하였으며, 이후 다양한 거칠기 모델 검증에 널리 활용되어 왔다. 본 연구에서는 실험과 동일한 조건을 모사하였으며, 다양한 유동 조건에서의 마찰 손실 및 로그층의 이동 현상을 정량적으로 분석하였다.

수치 해석은 CRAFT Tech사의 상용 해석 소프트웨어인 CRUNCH CFD를 활용하여 수행하였으며, 해석 조건은 정상 상태 비압축성 난류 유동을 가정하였다. 지배 방정식은 비압축성 Reynolds-Averaged Navier-Stokes(RANS) 방정식을 기반으로 하고, 난류 모델은 $k - ω$ SST 모델을 채택하였다. 대류플럭스 계산에는 Roe-averaged flux difference splitting 기법을, 해의 안정성 확보를 위해 Barth-Jespersen 리미터를, gradient 계산에는 Green-Gauss 방법을 각각 사용하였다. 물성치는 일정한 값으로 고정하여 해석을 수행하였으며, 거칠기 효과를 반영하기 위해 CRUNCH CFD에 구현된 Knopp 모델을 사용하였다. 해석에 사용된 유동 조건은 Nikuradse의 실험 조건과 동일하게 설정하였으며, 세부 조건은 Table 3에 요약하였다. 이때 $r$ 은 관의 반지름, $D$ 는 관의 지름, $u_{in}$ 은 관 유입류의 평균 속력이다. 정확한 비교를 위해 원주 방향으로는 5° 간격의 2차원 축대칭 격자를 구성하였으며, 유동 방향으로는 2000개의 셀을 배치하였다. 이때 wall-function 기반 해석에서는 반경 방향으로 30개의 셀을, wall-resolved 기반 해석에서는 반경 방향으로 70개의 셀을 배치하였다. Wall-function 기반 해석의 경우 벽면 인접 셀의 $y^{+}$ 값이 30 이상 되도록 하였으며, wall-resolved 기반 해석에서는 $y^{+}$ <1 조건을 만족하는 격자 분포를 적용하였다. 그리고 전체 격자에 대해 인접 셀 간의 크기 변화가 완만하도록 stretching ratio를 1.2 이하로 설정하여, 계산 과정의 안정성을 확보하였다. 또한 관 유동의 발달 길이를 충분히 반영하기 위해 관 길이는 반지름의 100배 이상으로 설정하였다. 정상 상태 해를 얻기 위한 수렴 기법으로는 local time stepping 방법을 사용하였다. 한편, 거칠기 구간 구분은 Nikuradse의 기준[12]에 따라 $k_{s}^{+}$ <5는 hydraulically smooth regime, 5< $k_{s}^{+}$ <70는 transitionally rough regime, 70< $k_{s}^{+}$ 는 fully rough regime으로 정의하였다. 해석 결과는 관 유동이 충분히 발달된 이후의 데이터만 비교에 사용되었으며, 수치 모델의 예측 성능을 정량적으로 검증하고자 하였다.

Table 3.

Summary of Nikuradse experimental conditions and calculated roughness Reynolds number

$r / k_{s}$	$D$ (mm)	$k_{s}$ (mm)	$u_{in}$ (m/s)	𝜈(mm²/s)	$\frac{D \cdot u_{i n}}{ν}$	$k_{s}^{+}$
15	24.1	0.8	0.57 ~ 5.24	1.17 ~ 1.23	11,300 ~ 430,000	31.0 ~ 579.4
126	24.7	0.1	2.05 ~ 8.20	0.85 ~ 0.89	231,000 ~ 960,000	54.2 ~ 229.6
252	49.2	0.1	0.51 ~ 11.27	0.89 ~ 1.21	21,400 ~ 624,000	2.5 ~ 67.0
507	99.4	0.1	0.27 ~ 8.38	0.86 ~ 1.20	22,700 ~ 970,000	1.3 ~ 48.5

3.2 Niino의 초임계 수소 실험

로켓 엔진의 냉각 채널과 같은 미세 유로에서는, 열전달 성능과 압력 강하 특성의 정량적 예측이 열 설계의 핵심 요소로 작용한다. 특히 동일한 열유속 조건에서 표면 열전달계수가 증가하면 벽면 온도를 낮출 수 있어 재료 내열 여유 확보에 유리하며, 채널 내 압력 손실은 연소 압력 제어 및 연료 공급 시스템 설계와 직결되므로 정확한 예측이 요구된다. 이에 따라 본 연구에서는 거칠기를 고려한 초임계 수소 유동 실험인 Niino의 실험[21]을 기반으로, 거칠기 모델이 초임계 유동에서 열전달 및 압력강하 특성을 얼마나 잘 재현하는지를 평가하였다. 따라서 본 연구에서는 Niino 실험에서 사용된 표면 거칠기를 바탕으로, 열유속이 다른 두 조건(저열유속, 고열유속)을 설정하고, 각각 wall-function 및 wall-resolved 접근법을 적용하여 Knopp 모델의 예측 성능을 분석하였다. 해석에 사용된 격자는 동일한 형상을 기반으로 구성되었으며, wall-function 접근법에서는 30< $y^{+}$ 를 만족하도록 조정하여 반경 방향으로 40개의 셀을 배치했고, wall-resolved 조건에서는 $y^{+}$ <1을 만족하도록 반경 방향으로 100개의 셀을 배치하였다. 두 조건 모두에서 유동 방향으로는 2400개의 셀을 배치했다. 그리고 전체 격자에 대해 인접 셀 간의 크기 변화가 완만하도록 stretching ratio를 1.2 이하로 설정하여, 계산 과정의 안정성을 확보하였다. 전체 해석 조건은 Table 4에 요약하였으며, 경계 조건 및 계산 영역은 Fig. 1에 나타내었다.

Table 4.

Summary of test conditions in Niino’s experiment

Case	$D$ (mm)	$R_{a}$ (𝜇m)	$L_{in}$ (mm)	$L_{heated}$ (mm)	$L_{out}$ (mm)	$\dot{m}$ (g/s)	$T_{in}$ (K)	$P_{out}$ (MPa)	$\dot{Q}''_{avg}$ (MW/m²)
Case 1	3.2	4.2	95	320	65	39.7	29.2	4.28	8.95
Case 2	3.2	4.2	95	320	65	34.8	27.8	4.47	16.72

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Fig. 1.

Schematic diagram of the test section in Niino’s supercritical hydrogen heated pipe experiment

수치 해석은 CRAFT Tech사의 상용 해석 소프트웨어인 CRUNCH CFD를 활용하여 수행하였으며, 해석 조건은 정상 상태 압축성 난류 유동을 가정하였다. 지배 방정식은 압축성 RANS 방정식을 기반으로 하고, 난류 모델은 $k - ω$ SST 모델을 채택하였다. 대류플럭스 계산에는 Roe-averaged flux difference splitting 기법을, 해의 안정성 확보를 위해 Barth-Jespersen 리미터를, gradient 계산에는 Green-Gauss 방법을 각각 사용하였다. 정상 상태 해를 얻기 위한 수렴 기법으로는 local time stepping 방법을 사용하였다. 밀도, 엔탈피, 정압 비열, 점성 계수, 열전도도 등의 주요 물성치는 NIST REFPROP 데이터를 참조하여 온도 및 압력에 따른 함수로 테이블화하였으며, 해석 시 보간법을 통해 해석에 사용하였다. 또한, 거칠기 효과를 반영하기 위해 CRUNCH CFD에 구현된 Knopp 모델을 사용하였으며, 난류 프란틀 수는 0.85로 설정하였다.

4. 수치 해석 결과

4.1 Nikuradse의 실험 기반 검증

4.1.1 속도 분포 비교

거칠기 표면이 유동에 미치는 대표적인 영향 중 하나는 로그층의 벽면 방향 이동이며, 이는 속도 분포의 형태에 직접적인 영향을 미치는 주요 현상이다. 본 연구에서는 Nikuradse 실험에서 측정된 관내 속도 분포를 기준으로, 각 $k_{s}^{+}$ 조건에서의 로그층 이동 재현성을 평가하였다. Fig. 2(a)는 wall-function 기반 해석 결과로, $k_{s}^{+}$ 증가에 따라 로그층이 벽면 방향으로 점진적으로 이동하는 특성이 실험 결과와 유사하게 나타났다. 한편, Fig. 2(b)는 wall-resolved 조건에서 수행된 결과로, 벽면 인근을 직접 해상할 수 있는 격자 조건( $y^{+}$ <1) 하에서 수행되었으며, 로그층의 위치 이동과 점성저층의 축소 현상을 모사할 수 있음을 확인하였다. $k_{s}^{+}$ 가 증가함에 따라 점성저층에서의 선형 속도 분포( $U^{+} = y^{+}$ ) 구간이 감소하는 경향도 함께 관찰되었다. 그러나 $k_{s}^{+}$ =33.9에 해당하는 transitionally rough regime 에서는 로그층 이동량의 예측 정확도가 상대적으로 저하되어 약 10% 수준의 오차가 관찰되었다. 이는 해당 구간에서 거칠기 형상 및 유동 조건에 따른 민감한 난류 반응이 나타나며, $k_{s}^{+}$ 만의 단일 보정 함수 기반의 예측 모델로는 이러한 복합 현상을 정확히 예측하기 어렵기 때문으로 판단된다.

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Fig. 2.

Log-layer shift prediction under different roughness regimes

4.1.2 마찰 계수 비교

관내 유동에서의 압력 손실 특성은 설계 및 해석 측면에서 핵심적인 물리량 중 하나이며, 특히 냉각 채널과 같은 소구경 유로에서는 상대 거칠기의 영향이 더욱 크게 작용한다. 본 연구에서는 거칠기 조건에 따른 마찰 계수의 예측 정확도를 검증하기 위해, 다양한 $k_{s}^{+}$ 조건에서의 수치 해석 결과를 Nikuradse의 실험값과 비교하였다. 마찰 계수는 식 (7)을 통해 계산되었으며, 여기서 $Δ P$ 는 유동이 충분히 발달된 축 방향 구간에서의 압력강하이며, $D$ 는 관 직경, 𝜌는 밀도, $V$ 는 평균 속도, $l$ 은 $Δ P$ 를 측정한 거리이다.

(7)

f = \frac{Δ P \cdot 2 D}{ρ V^{2} l}

Fig. 3(a)에는 wall-function 기반의 마찰 계수 결과를 나타내었으며, 전 구간에서 실험 결과와 매우 유사하였다. 반면 Fig. 3(b)는 wall-resolved 기반의 마찰 계수 결과로, transitionally rough regime에서는 다른 조건에 비해 오차가 커지는 경향이 관찰되었다. 이는 Knopp의 거칠기 보정 모델이 각 거칠기 구간에서 작동하는 원리와 관련된 결과이며, Table 2에서 보인 바와 같이, 거친 표면에서 wall-resolved 접근법을 사용할 경우 damping function의 역할이 중요해지기 때문이다. 그러나 transitionally rough regime에서는 거칠기 요소 및 기하학적 형상 등이 동시에 복합적으로 작용함에도 불구하고, $k_{s}^{+}$ 만을 기준으로 구성된 damping function에 의해 벽면 인접 구간의 유동이 계산된다. 따라서 모델이 거의 작동하지 않는 smooth regime이나, 모델의 물리적 가정이 성립하는 wall-function 접근법에서는 높은 정확도를 보여주었지만, transitionally rough regime에서 주요하게 작동하는 damping function의 성능이 복합적 물리 현상을 충분히 반영하지 못함을 알 수 있다. 이 결과는 앞선 속도 분포 비교에서 확인된 로그층 위치 오차와 일치하는 경향을 보이며, transitionally rough regime에 대한 모델의 개선 필요성을 시사한다.

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Fig. 3.

Friction factor prediction across roughness regimes

4.2 Niino의 실험 기반 검증

4.2.1 압력 분포 비교

관 내벽의 거칠기는 벽면 인근의 난류 강도를 증가시키며, 이에 따라 전체 유동장에서의 마찰 손실도 함께 상승하는 경향을 보인다. 본 연구에서는 이러한 거칠기효과에 따른 마찰 손실을 정량적으로 평가하기 위해, 가열 구간( $L_{heated}$ )에서의 압력 강하에 대해 수치해석 결과와 실험값을 비교하였다(Fig. 4). 두 가지 열유속 조건 모두에서 Knopp 거칠기 모델은 관내 마찰 손실의 증가 경향을 재현하였지만, 해석 방법에 따라 예측 정확도에서 차이를 보였다. Wall-function 접근법을 적용한 해석에서는 실험값 대비 차압이 과도하게 예측되는 경향이 있었으며, 특히 열유속이 낮은 조건에서 상대적으로 큰 오차가 관찰되었다. 반면, wall-resolved 접근법을 적용한 해석에서는 실험값 대비 차압이 과소 예측되는 경향을 보였으나, 실험값에 근접한 결과를 보였으며, 열유속 조건과 무관하게 약 8% 이내의 예측 오차를 유지하였다(Table 5).

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Fig. 4.

Effect of surface roughness and near-wall treatment on axial pressure distribution in the heated section

Table 5.

Prediction errors of pressure drop in Niino’s experiment using wall-function and wall-resolved approaches

	Wall-function	Wall-resolved
Case 1	+15.62%	-7.61%
Case 2	+4.71%	-6.08%

Wall-resolved 접근법은 transitionally rough regime에서 wall-function 접근법보다 상대적으로 낮은 정확도를 보일 수 있지만, 벽면 근처의 물성치 구배가 미치는 영향을 포착할 수 있다는 장점이 있다. 즉, 본 연구와 같이 높은 열유속 조건으로 인해 벽면 인근 유동의 물성치가 급변하는 경우, wall-resolved 접근법은 격자를 조밀하게 구성하여 이러한 물성치 구배의 영향을 보다 정밀하게 반영할 수 있어 결과적으로 더 높은 정확도를 보인다. 반면 wall-function 접근법은 물성 변화에 따른 벽면 유동 특성의 변화를 반영하기 어려워, 물성 구배가 큰 조건에서는 예측 정확도가 저하되는 한계를 갖는다. 따라서 높은 열유속 조건 또는 초임계 유체 유동과 같이 벽면 근처 물성 변화가 중요한 경우, wall-resolved 접근법의 거칠기 모델이 보다 신뢰성 있는 차압 예측을 제공할 수 있을 것으로 판단된다.

한편, 거칠기 효과가 유동장의 평균 온도 및 속도와 같은 전체 유동(bulk flow) 특성에 미치는 영향은 미미한 수준으로 관찰되었다(Fig. 5, Fig. 6). 이는 거칠기 요소에 의한 영향이 벽면 인근의 에너지 및 운동량 교환에 주로 국한되며, 유동장 전체의 평균적인 특성에는 큰 변화를 야기하지 않기 때문으로 해석된다.

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Fig. 5.

Effect of surface roughness and near-wall treatment on axial bulk temperature distribution in the heated section

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Fig. 6.

Effect of surface roughness and near-wall treatment on axial bulk velocity distribution in the heated section

4.2.2 벽면 온도 비교

초임계 유동 조건에서는 물성 변화가 급격하게 발생하며, 특히 transcritical 조건에서 높은 열유속이 가해지는 경우 벽면 온도가 급격히 상승하는 thermal spike 현상이 유발될 수 있다. 이 현상은 열전달 안정성을 저해하는 주요 요인이므로, 열 설계 관점에서의 정확한 예측이 요구된다. 한편, 관 내벽에 존재하는 거칠기 요소는 벽면 인근의 난류 강도를 증가시켜 유동과 벽면 사이의 열전달을 강화하고, 동일한 열유속 조건에서도 벽면 온도를 상대적으로 낮게 유지시키는 효과를 유발한다. 따라서 열유속 및 거칠기 조건에 따라 변화하는 벽면 온도를 정밀하게 예측하는 것은 거칠기 모델의 신뢰성 평가에 있어 핵심적인 기준이 된다. 본 연구에서는 서로 다른 열유속 조건 하에서 wall-resolved 및 wall-function 접근법으로 Knopp 모델을 적용하고, 두 방식에서 thermal spike 예측 정확도와 벽면 온도 분포를 비교 분석하였다(Fig. 7).

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Fig. 7.

Effect of surface roughness and near-wall treatment on wall temperature distribution in the heated section

열유속이 낮은 조건(Case 1)에서는 실험 결과에서 thermal spike 현상이 발생하지 않지만, 거칠기 모델을 적용하지 않은 해석에서는 thermal spike 현상이 예측되었다. 반면, 거칠기 모델을 적용했을 시 thermal spike가 발생하지 않는 실험 경향을 정확히 재현하였다. 다만, wall-function 접근법에서의 Knopp 모델은 벽면 온도를 과도하게 낮게 예측하는 경향을 보였다. 열유속이 높은 조건(Case 2)에서는 실험에서 thermal spike 현상이 발생하였으며, wall-resolved 접근법은 해당 위치 및 벽면 최고 온도를 실험값 대비 14.9% 이내의 오차로 정량적으로 잘 예측하였다. 반면, wall-function 접근법은 thermal spike 자체를 재현하지 못했으며, 전체 온도 분포에서도 실험 결과와 큰 차이를 보였다. 해당 모델은 wall-resolved 및 wall-function 해석 방법 모두에 적용이 가능한 구조를 갖추고 있으며, 이는 벽면 인근에서 물성 변화가 큰 초임계 유동 조건에서도 적용 가능하다는 점에서 실용적 장점을 가진다. 특히, Niino 실험 조건과 같이 벽면 인근에서 급격한 밀도 및 온도 구배가 존재하는 환경에서도 wall-resolved 접근법 기반의 Knopp 모델은 높은 일관성과 신뢰도를 유지하며 실험 결과와 양호한 일치를 보였다.

Knopp 모델은 기본적으로 $y^{+}$ ≥ $k_{s}^{+}$ 조건 하에서 높은 정확도를 갖지만, damping function을 통해 $y^{+}$ < $k_{s}^{+}$ 구간을 보완함으로써 $y^{+}$ 가 작은 조건에서도 안정적인 적용이 가능하다. 본 연구에서는 해당 모델이 wall-resolved 및 wall-function 해석 모두에서 적용 가능함을 확인하였으며, 특히 초임계 유체 유동처럼 벽면 근처에서 물성 구배가 급격히 변화하는 조건에서는 wall-resolved 방식과의 결합을 통해 높은 일관성과 신뢰도를 유지할 수 있음을 실험 결과와의 비교를 통해 검증하였다. 이러한 결과는 해당 모델이 다양한 열유속 및 유동 조건에서 벽면 온도 예측에 유효하게 적용될 수 있음을 시사하며, 향후 초임계 유동 해석에 있어 실용적인 거칠기 모델로 활용될 수 있음을 보여준다.

5. 결 론

본 연구에서는 관유동 내 거칠기 효과를 수치적으로 모사하기 위한 기법으로서, 벽면 거칠기 모델의 적용성과 한계를 평가하였다. 이를 위해 CRUNCH CFD에 구현된 난류 모델 기반의 Knopp 모델을 적용하고, 대표적인 비압축성 유동(Nikuradse 실험)과 초임계 열유동(Niino 실험) 조건을 각각 모사하여 수치해석을 수행하였다. Nikuradse 실험에서는 wall-function 접근법이 전체 거칠기 구간에서 비교적 안정적인 예측 정확도를 보였으며, 특히 거칠기에 의한 로그층 이동 현상을 높은 정확도로 재현하였다. 반면 wall-resolved 접근법은 hydraulically smooth 및 fully rough 구간에서는 높은 정확도를 보였으나, transitionally rough 구간에서는 로그층 이동 정도와 마찰 계수를 과소 예측하는 경향이 확인되었다. 이는 Knopp 모델이 $k_{s}^{+}$ 만을 입력 변수로 사용하는 단일 변수 기반 모델이기 때문에, 레이놀즈수 등 유동 조건에 따른 변화를 반영하지 못하는 데 기인하는 것으로 판단된다. Niino 실험에서는 초임계 유체의 급격한 물성 변화로 인해, 벽면 인근의 밀도 및 온도 구배가 유동 해석의 핵심 요인으로 작용하였다. 열유속이 큰 조건에서는 wall-function 접근법의 예측 정확도에 한계가 있었던 반면, wall-resolved 접근법은 복잡한 열전달 조건에서도 거칠기의 영향을 정량적으로 재현하였다. 특히 벽면 인근 열물성 구배가 클수록 wall-resolved 접근법이 보다 신뢰성 있는 결과를 제공함을 확인하였다.

본 연구에서 분석한 Knopp 모델은 단순한 수식 구조와 제한적인 입력 변수에도 불구하고, 기존의 $k - ω$ SST 난류 모델과 안정적으로 결합되어 실용적 해석에서의 효율성과 예측 정확도를 동시에 확보할 수 있는 거칠기 모델로 평가된다. 다만, transitionally rough regime에서 wall-resolved 방식을 사용하는 경우, 해당 모델의 물리적 기반이 상대적으로 약화되어 예측 오차가 증가하는 경향이 있으며, 이러한 점은 모델의 개선이 필요한 지점으로 판단된다. 향후에는 레이놀즈수 등의 유동 지배 변수를 포함하는 보정 기법을 도입하여 모델의 일반성을 확장할 필요가 있다.

Acknowledgements

본 논문은 우주항공청 Space-K BIG 프로젝트 사업 (RS-2025-16063719)의 지원을 받아 수행된 연구입니다.

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Journal of Computational Fluids Engineering ISSN:1598-6071(Print) 3022-6252(Online) 한국전산유체공학회지

Preview

VALIDATION AND EVALUATION OF KNOPP ROUGHNESS MODELING FOR TURBULENT FLOW AND HEAT TRANSFER UNDER VARYING ROUGHNESS REGIMES

ABSTRACT

MAIN

Table 1.

Summary of roughness parameters and definitions

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Table 2.

Summary of roughness regime treatments and accuracy criteria in the Knopp model

Table 3.

Summary of Nikuradse experimental conditions and calculated roughness Reynolds number

Table 4.

Summary of test conditions in Niino’s experiment

Fig. 1.

Schematic diagram of the test section in Niino’s supercritical hydrogen heated pipe experiment

Fig. 2.

Log-layer shift prediction under different roughness regimes

(7)

Fig. 3.

Friction factor prediction across roughness regimes

Fig. 4.

Effect of surface roughness and near-wall treatment on axial pressure distribution in the heated section

Table 5.

Prediction errors of pressure drop in Niino’s experiment using wall-function and wall-resolved approaches

Fig. 5.

Effect of surface roughness and near-wall treatment on axial bulk temperature distribution in the heated section

Fig. 6.

Effect of surface roughness and near-wall treatment on axial bulk velocity distribution in the heated section

Fig. 7.

Effect of surface roughness and near-wall treatment on wall temperature distribution in the heated section

Acknowledgements

References